Heaviside andan la función

La función del paso de Heaviside o la función del paso de la unidad, por lo general denotada por H (pero a veces u o θ), es una función discontinua cuyo valor es el cero para el argumento negativo y un para el argumento positivo.

Rara vez importa que valor se usa para H (0), ya que generalmente se usa como una distribución. Algunas opciones comunes se pueden ver abajo.

La función se usa en las matemáticas de teoría de control y procesamiento de la señal para representar una señal que enciende en un tiempo especificado y se queda encendida indefinidamente. También se usa en la mecánica estructural juntos con la función del delta de Dirac para describir tipos diferentes de cargas estructurales. Se nombró por el erudito inglés Oliver Heaviside.

Es la función de distribución acumulativa de una variable arbitraria que es casi seguramente 0. (Ver la variable arbitraria constante.)

La función de Heaviside es la integral de la función del delta de Dirac: H′ = δ. Esto a veces se escribe como

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aunque esta extensión pueda no sostener (o hasta tener sentido) para x = 0, según cual formalismo uno usa para dar el sentido a integrales que implican δ.

Forma distinta

Una forma alternativa del paso de la unidad, como una función de una variable distinta n:

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donde n es un número entero. A diferencia del habitual (no distinto) caso, la definición de H [0] es significativa.

El impulso de la unidad del tiempo discreto es la primera diferencia del paso del tiempo discreto

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Esta función es la adición acumulativa del delta de Kronecker:

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donde

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es la función del impulso de la unidad distinta.

Aproximaciones analíticas

Para una aproximación lisa a la función del paso, uno puede usar la función logística

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donde k más grande equivale a una transición más aguda en x = 0. Si tomamos H (0) = ½, la igualdad sostiene en el límite:

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Hay muchas otras aproximaciones lisas, analíticas a la función del paso. Entre las posibilidades son:

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Estos límites sostienen pointwise y en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, pointwise convergencia no tiene que implicar la convergencia distribucional, y la convergencia viceversa distribucional no tiene que implicar la convergencia pointwise.

En general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f). de una distribución de probabilidad continua que se alcanza su punto máximo alrededor del cero y tiene un parámetro que controla para el desacuerdo puede servir de una aproximación, en el límite ya que el desacuerdo se acerca al cero. Por ejemplo, todas las tres de las susodichas aproximaciones son c.d.f.s de distribuciones de probabilidad comunes: El logístico, Cauchy y distribuciones normales, respectivamente.

Representaciones integrales

A menudo una representación integral de la función del paso de Heaviside es útil:

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Argumento cero

Ya que el H por lo general se usa en la integración, y el valor de una función a un punto solo no afecta su integral, raramente importa que valor particular se elige de H (0). En efecto cuando H se considere como una distribución o un elemento de (ver el espacio de Lp) ni siquiera tiene sentido a la conversación de un valor en el cero, ya que tales objetos sólo se definen casi en todas partes. Usando un poco de aproximación analítica (como en los ejemplos encima) entonces a menudo independientemente de lo que resulta ser el límite relevante en el cero se usa.

Allí exista, sin embargo, razones de elegir un valor particular.

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Antiderivado y derivado

La función de la rampa es el antiderivado de la función del paso de Heaviside:

El derivado distribucional de la función del paso de Heaviside es la función del delta de Dirac:

Fourier transforma

Fourier transforma de la función del paso de Heaviside es una distribución. La utilización de una opción de constantes para la definición de Fourier transforma tenemos

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\hat {H} (s) = \lim_ {N\to\infty }\\int^N_ {-N} \mathrm {e} ^ {-2\pi i x s} H (x) \, {\\rm d} x = \frac {1} {2} \left (\delta (s) - \frac {yo} {\\pi }\\texto {p.v. }\\frac {1} {s} \right).

</matemáticas>

Aquí está la distribución que toma una función de prueba al valor del principal de Cauchy del límite que aparece en la integral también se toma en el sentido de distribuciones (templadas).

Representación algebraica

Si es un número decimal sin más que dígitos decimales, la función del paso de Heaviside se puede representar por medio de la expresión algebraica siguiente:

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donde y son números enteros arbitrarios que satisfacen, y es una función del delta de Kronecker.

Por ejemplo, si es el número entero, la opción más simple es:. la otra mano, si pertenece a un juego de números decimales con dígitos decimales, la opción más simple es:.

Representación de hiperfunción

Esto se puede representar como una hiperfunción como.

Véase también



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